宇宙と宇宙をつなぐ数学 IUT理論の衝撃 角川ソフィア文庫

加藤文元(著者)

• 販売会社／発売会社: KADOKAWA
• 発売年月日: 2023/02/24
• JAN: 9784044007379

商品レビュー

2025/06/04

・望月教授のこれまでの業績の積み重ねの上にIUT理論がある。
・IUT理論を学ぶには、遠アーベル幾何学、テータ関数を学ぶ必要がある。

わからなかったこと：
・対称性を使った通信とは？そのアイデアはガロワ理論に近い？それは不変量みたいなもの？
・テータリンクとは？

2025/02/25

この証明が認められない論点も知りたかった

望月さんのABC予想の証明を一般向けに書いた本．出だしの部分は望月さんのABC予想証明の経過や，それがいかに革新的であるかが思い入れ満載で綴られている．その次は，ABC予想の問題そのものと，群論とかの簡単な予備的なお話が続き，最後に宇宙際タイヒミューラー理論の片鱗に触れるという構成．

普通は，本書では舞台に例えられている宇宙というものが違うと証明に使えないというのが私の理解だ．互いに相反する公理を含んだ公理系という認識でいる．それが，十分に複雑で群の対称性が一致していれば，宇宙をまたいで対応付けができるというのが宇宙際タイヒミューラ理論というものだと思った．著者は，多くの前提知識を必要とする話を，それらをすっ飛ばして，例え話で工夫して要点を伝えようとされてるので，十分に理解できかどうかはだいぶ不安ではあるのだが…

以上の理解の下で，この理論は，ヒルベルトが数学の証明が正しいということを，公理系から導出できることと定義して以来の，数学のルールの変更の提案なのではないかと思った．普通は変数記号が等しいと同じものと見なすけど，それを分岐して分かれた公理系間で同じ性質のものを同じものと見なすというふうに拡張しているのではないかと．現状のルールではなく，ルール変更の提案なので，受け入れられるかどうかが分かれているように思えた．これがその論点かどうかは分からないのだが，学会で論点になっている部分がきっとあるはずなのだけど，そのあたりについても知りたかった．この点で★を一つ差し引く．

上に書いたような私の理解が正しければ，現状のヒルベルト以降のルールの下では認められるのは難しいという印象をもった．一つは，同一性という一階述語論理の枠組みに対する変更であること．もう一つの基本の集合の公理は カントール→ZF→ZFC と変更があったが論理の部分に手をつけたことはないように思う．二つ目は，同じ対称性だったら同じとみなすとかは，ものの類似性を扱う位相とか距離とかの概念と関連するように思う．私はろくに開集合・閉集合も分かっているとはいえないへっぽこではあるのだが，別枠で考えられているそういう考えを，根本の論理のところで変えるというのも，受け入れるのが難しそうな気がする．

数学は純粋に数や量の学問というだけでなく，科学のリンガフランカとう側面もある．ヒルベルトのルール変更は，物理から生じた微積分を問題なく扱うという要請が背景の一つにあると思っている．科学の言語として使ったときに，何かこの新しいルールの下での数学に利点があるとか，そういう点を探して，根本ルールの異なるメタ宇宙みたいな感じのものとしてプレゼンテーションした方が，興味をもってくれる人が増えそうな気がした．

2024/06/05

望月新一教授がABC予想の証明に用いたIUT理論（宇宙際タイヒミュラー理論）について、一般向けに解説した本。初めに論文発表の経緯や数学界の一般的な話、次にabc理論についての解説、最後にIUT理論についての解説、という構成で書かれている。数学者でも難しいとされる理論であるがゆえに、数学的に高度な話にはあまり立ち入っていないが、望月教授がいかに斬新な理論を構築したかについては十分に伝わる内容となっている。本書の評価すべき点は、筆者が一般のレベルをよく心得ていることである。一般の人にとって何が聞き慣れない言葉で、どこまで理解が追いつけるか、ということに注意しながら書かれているため、読者が置いてけぼりになることなく最後まで読むことができる。

本書で印象に残ったこと
- 望月教授の論文は、自身が編集長を務めるジャーナルに受理された。これを問題視する意見もあるが、論文の価値をよく理解してくれるジャーナルに投稿するのは当然で、ましてや普及していない新たな理論の場合は現実的な選択として必然的なことである。
- ABC予想が証明されれば、他の様々な予想も証明可能である。1985年にデイヴィット・マッサーとジョセフ・オェステルレによって提案され、注目を集めてきた。
- IUT理論は、現代数学になかった異なる舞台を用意して足し算と掛け算の関係を分離し、舞台間で対称性の群を用いた通信および計算を行い、その通信によって生ずる不定性・ひずみを定量的に評価することで不等式を導く、というものである。