定理のつくりかた

竹山美宏(著者)

• 販売会社／発売会社: 森北出版
• 発売年月日: 2018/02/01
• JAN: 9784627062313

商品レビュー

2020/09/14

証明問題に苦手意識を持っていた高校のときに読めていたらなぁ…という本。

前半の第2章では「問題を解くための考え方」が説明されている。
日常生活で自然と頭の中で処理している考え方が数学にもそのまま使えるという説明が、とてもわかりやすい。
この部分を読むだけでも、この本を読んだ価値があるのではないかと思う。

後半は、タイトルの通りの「定理の作り方」を実演している。
80ページ以上を使って、ピックの定理の導出から証明まで、行間ほぼゼロで説明している。

ちなみに、自分が大学生のときに、数学教員の免許を取るための授業で扱われたテーマがピックの定理だった。
この本ほど深くは扱われなかったが、ピックの定理は数学というものを説明するためのいい教材なんだろうか。

2020/01/11

２０２００１１１　中央図書館
問題をいかにうまく作り出すか、形作るか、切り出すか・・というところに核心がある。

2019/04/21

少し前に出た定理の作り方。ずっと気になっていたので、読了した。
中学数学の基本的な事項を説明しながら問いを与えられた時に問題をどのように解くか、またそれを汎用的にパターン化できないかの検討方法を具体的な事例とともに解説する良書。ポリアのいかにして問題を解くかの優しい現代版みたいな位置づけだろうか。問題の立て方の部分などは数学以外の分野でも応用できそうだった。

■目次
第1部 定理をつくるための考えかた

第1章 問題の立てかた
1.1 問題をはっきりさせる
1.2 問題の読みかた
言葉を理解する
式の意味を理解する
主要部分をとらえる
1.3 問題を書き下す
1.4 問題を立てるときの難しさ
最初から主要部分がはっきりしているとは限らない
問題として成立していないかもしれない

第2章 問題を解くための考えかた
2.1 過去の経験を生かす
2.2 アイデアを得るための方法
問題の設定からわかることをとらえる
ゴールから逆にたどる
条件を使って絞り込む
具体例を観察して規則性を見つける
少し簡単にした問題を考える
2.3 議論の進めかた
妥当な推論を行う
数学における禁じ手

第3章 答えの書きかた
3.1 答えを書く目的
3.2 どのように答えを書くのか
3.3 答えには何を書くのか
3.4 自分の答えを見直す
当たり前に思えることもきちんと考え直す
議論をなるべく簡潔にする

第4章 新しい問題のつくりかた
4.1 データを変える
4.2 一般化する・特殊化する
4.3 逆を考える
「ならば」を含む命題
「ならば」を含む命題の逆
4.4 ほかの事項と関連づける

第2部 数学の技法

第5章 場合分け
5.1 どのようなときに使うのか
5.2 場合の分けかた
5.3 積み重ね型の場合分け
5.4 場合分けで注意すべきこと

第6章 数学的帰納法
6.1 どのようなときに使うのか
6.2 数学的帰納法の考えかた
6.3 累積帰納法
6.4 数学的帰納法を使うときの注意

第7章 対偶の利用と背理法
7.1 対偶の利用
対偶とは
対偶を利用する証明の例
7.2 背理法

第3部 ピックの定理をめぐって

第8章 問題を立てる
8.1 何が問題なのか
格子多角形
基本的な格子多角形の面積
一般の格子多角形の面積
8.2 問題の主要部分を明確にする
何をデータにするか
単純な場合から始める
極端な場合に着目する

第9章 問題を解く―公式を見つける
9.1 規則性を探る
9.2 公式を予想する
問題をきちんと書き下す
規則性を使って答えを予想する
予想が正しいことを確認する
9.3 一般化する
格子四角形の場合
格子五角形の場合
一般の場合

第10章 問題を解く―証明する
10.1 簡単な場合に証明してみる
標準長方形の場合
標準直角三角形の場合
10.2 格子三角形についての証明
x軸方向またはy軸方向の辺をもつ格子三角形の場合
一般の格子三角形の場合
すべての場合を尽くしたことを確認する
10.3 一般の格子多角形についての証明

第11章 答えを書く
11.1 証明を振り返る
11.2 当たり前に思えることもきちんと考え直す
11.3 議論を簡潔にする