感動する！微分・積分 数学 朝日おとなの学びなおし！

桜井進【著】

• 販売会社／発売会社: 朝日新聞出版
• 発売年月日: 2012/08/20
• JAN: 9784023310926

商品レビュー

2014/06/29

方丈記　行く川のながれは絶えずして，しかも本の水にあらず。
平家物語　祇園精舎の鐘の声，諸行無常の響きあり。
ニュートン　流率法
もし，昼休みの時間，アルキメデスがその高校生の目の前に現れてノートをのぞきこんだならば，驚嘆の声をあげることでしょう。→曲線で囲まれた部分の面積が簡潔に計算
微分Differential
縦書きにすれば，とにかく最後まで，立て板に水のごとく読んでもらえる可能性が高くなる。
導関数Derivative
ブラック・ショールズ方程式　伊藤の理論
数学の教科書に載っている公式を祖先が見たならば，あまりの驚きに椅子から転げ落ちるほど驚嘆するでしょう。
正規分布　ガウス分布　１０マルク紙幣　確率密度関数
ネイピア数e　Euler
微分積分学calculus
円運動p(t)の速度ベクトル→向きは接線方面

分子と分母がゼロになる不定形　0/0
二項定理　f(x)=x^nの導関数
積の微分法　商の微分法　合成関数の微分法
√２　ニュートン法
sin cosの加法定理
sinx := x (x→0)
sinxが実数xに対して定義される孤度法　π＝180°
インテグラル→簡単すぎて感動する暇すらない。

円の面積　円周の半分×半径＝（半径×π）×半径
べき和公式　区分求積法　下方和＜Ｓ＜上方和　→　極限をとる。

数学という思考実験が現実の物理実験を凌駕する威力を持つ。

アルキメデスの求積法　放物線の切片の面積は内接する三角形の面積の４/３倍
取り尽し法　積尽法
カヴァリエリの不可分法　直線の幅や平面の厚さを限りなくゼロに近い値

微分してf(x)となるもとの関数をf(x)の原始関数primitive function

定積分　dx限りなくゼロに近い幅→長方形の幅＝f(x)×dx

位置，速度，加速度　時刻tのときの位置x(t)
速度→１回微分　加速度→２回微分

自由落下運動　加速度は一定　a(t)=g　速度v(t)=gt＋v(0)　位置は速度の積分x(t)=1/2gt^2

第１次近似　f(b)-f(a)=f’(a)(b-a)　f(b)=f(a)+(b-a)f’(a)

関数f(x)をx=aを中心にテーラー展開する。a=0としたとき，マクローリン展開

面積と微分の関係　f’(x1)+f’(x2)+f’(x3)=f(x4)-f(x1)
面積Ｓ=f(x1)+f(x2)+f(x3)
S　=　f(x1)+f(x2)+f(x3)　=　∫_x1→x4 f(x)dx

ネイピア数　e=(1+1/N)^N N→∞
　　　　　　=1+1/1!+1/2!+1/3!+…
二項定理　(1+x/N)^N　1+x+x^2/2!+x^3/3!+…

対数の計算公式　対数関数f(x)=logx=logexの微分　f’(x)=1/x
オイラーの公式
バーゼルの問題→収束の遅さ→　1.64493　π^2/6

この先にフーリエやルベーグが登場

2013/08/30

◆結論　～　星の数　～
★★★：「費用と時間」をかけても読んで欲しい、「内容」が非常に良い(30%)

◆感想文　～　読む前、読んだ後　～

◇読む前の感想

　著者の桜井進さんにはまってしまいました。（＾＾）
　数学エッセイ本って、広くて浅くてまとまりが無いものばかりですが、これは微積分に特化した本であるため、期待大です。（＾＾）

◇読んだ後の感想

　ほほう、なるほど。
　微分積分の関係を自動車に例えるとき、移動距離→速度→加速度の関係と説明するのは、良く見ます。
　本書では、微分すると何故接線の傾きになるのか。積分すると何故面積になるのか。そして接線と面積にどんな関係があるのか。ここにこだわった説明がありました。
　正直、「そんな考え方があったか！」と、目から鱗でした。
　予想通り、読んでみて良かったです。（＾＾）

　本書の中で、個人的に面白いと感じたところを以下、箇条書きにします。
　（ページ数のある段落が引用です。無いのは私の感想です。）

・数と数字はまったく違うものです。数とは、概念であり、イデア的存在であり、つまり形なき存在です。(P40)

・ニュートン法による√２＝１．４１４・・・の計算(P110)
　√２を手計算できる方法があるとは、素晴らしい。（＾＾）しかし、かなり面倒臭そう。（＾＾；）

・小学校の算数では単位を伴う長さ・面積・体積を扱いますが、中学校からは長さに単位を付けず、数だけになってしまいます。算数と数学の違いの一つです。(P122)
　なるほど。算数と数学の違いの分かり易い例です。（＾＾）

・二重帰謬法（きびゅうほう）(P136)
　アルキメデスによる、放物線の切片の面積が、内接する三角形の面積の4/3倍になることの証明方法です。素晴らしいです。

・CORDIC(P188)
　電卓内部で行なわれている、sin31°の計算方法だそうです。マクローリン展開ではないそうです。へぇ。

・微分と積分と面積のつながり(P196)
　このグラフが分かり易いです！微積分を勉強した学生時代に、このカラクリを知っていればなぁ・・・。

・オイラーが行なった大胆な計算は、指数関数のxにixを代入するというものでした。(P210)
　有名なオイラーの等式の誕生秘話（？）です。オイラー自身、この等式の発見に驚喜したそうです。

・バーゼルの問題(P211)
　はて？何に収束するのだろう？？？

・「人は足すことをやめない」(P212)
　オイラーの名言です。的を射ています。

・オイラーのI2予想の証明(P224)
　バーゼルの問題の解に、まさか円周率が登場するとは！マジ、ビビりました・・・。数学、神秘過ぎます・・・。

（参考：評価基準）
★★★★★：座右の書である、または、座右の書とすべきである(10%)
★★★★：自分の知り合い、友人、家族全員が読んで欲しい(20%)
★★★：「費用と時間」をかけても読んで欲しい、「内容」が非常に良い(30%)
★★：暇な時間で読めば良い(20%)
★：読んでも良いが強く薦めない、他にもっと良い本がある(20%)

2012/12/06

たしかに感動した！微分積分を、レベルを下げることなく興味深く教えており、これは高校数学の副読本としても十分使える優れた本だろう。アルキメデスがどうやって面積を求めたか、またバーゼルの問題を細かに解いてくれているあたりが何ともしびれる。