これだけ！微分方程式

古山竜司(著者)

• 販売会社／発売会社: 秀和システム
• 発売年月日: 2015/12/01
• JAN: 9784798045320

商品レビュー

2016/02/11

もう何十年にもなりますが、受験勉強や大学教養時代に微分方程式を解いていた記憶はあります。解いていたのであって、様々な現象を解析して微分方程式に応用する、という考えは、恥ずかしながらありませんでした。

この本を読むことで、微分方程式と、普通の方程式の違いが分かりました。微分方程式の答えは「関数」で、方程式の答えは「数字」です（ｐ１０）。だから、微分方程式を解くことで、ある現象が、どのような変数（時間、位置、速度など）によって、変化するのかが予測できることになります。

微分方程式を立てることは、現象がどんな因子によって変化しているのかの考察、そしてよく表れる関数はどのような形をしているのかを想像することも大事であることが分かりました。

この本をもし高校三年生の時に読んでいたら、大学でもう少し深く勉強していたかもしれないな、と頭をよぎりました。後悔先に立たずですが、この思いをうちの娘を含め、若い人達に何らかの形で伝えられたらと思いました。

以下は気になったポイントです。

・微分方程式の「微分」とは、変化のことです。我々の日常生活には、いつも変化があります。その変化を方程式にすることで、全体像を明らかにしていくのが微分方程式の目的です（ｐ３）

・微分方程式は、いままで学んできた方程式とは違って、解は値ではなく、関数になる（ｐ１０）

・微分方程式を立て、元の関数を求めることによって、その自然現象のメカニズムを調べることができる（ｐ１４）

・F=maとニュートンの運動方程式は表現されるが、加速度aは速度vを時間tで微分したものなので、F=m x dv/dt、F=m x d2x/dt2となる（ｐ１６）

・微分方程式を使えば、現在から未来を予測し、過去を分析するこができます。具体的には、人口の未来と過去を知ることができる。死亡推定時刻を推定できる（ｐ１９）

・ある地域にすむ人の時刻tにおける人口 x(t)は、出生数 aと死亡者数 bが人口 xに比例するとすると、出生率 a/x、死亡率 b/xとなる。これっより、人口の成長率λ＝(a-b)/xとなる。人口の変化は、人口の成長率λに人口xをかけてものに等しいので、dx/dt=λxとなる。（ｐ２０）

・死亡推定時刻は、時刻t、外気温＝To（一定）とすると、外気にさらされた物体の温度Tは、ニュートンの冷却モデルにより、dT/dt=-k(T-T0)となる（ｐ２１）

・二回微分すると、元の関数の負の定数倍になるので、元の関数は三角関数と予測できる（ｐ２４）

・微分方程式を解くことで一般的な関数の形が決まり（一般解）、初期条件を与えることで、関するを求める（特殊解）ことができる（ｐ２８）

・高校の物理では、速度や落下距離の関数は公式として学習するが、微分方程式を利用することで、加速度から速度や落下距離を求めることができる（ｐ４１）

・運動方程式を立てるときは、物体がはじめに動く方向に矢印の向きをとる（ｐ４４）

・dP(t)/dt=λP(t)、このように微分したものが、元の関数P(t)と比例定数λの積で表されるとき、変数分離形微分方程式といい、その解は、P(t)=P０ x exp(λt)となる。マルサスの法則（バクテリアの増殖）はこれに当てはまる（ｐ５０、７３）

・放射性物質の崩壊の場合は、dN(t)\dt=-λN(t)である。この一般解は、N(t)=Ax exp (-λT)となる（ｐ６５）

・フェルフルストの考慮した人口増加率は、想定する最大人口と現在人口との差の割合によって抑制されるというもの。dP(t)/dt=λ x P(t)x(1-P(t)/Pmax)（ｐ８７）

・電流とは、単位時間当たりに通過する電荷量を表す、i(t)=dq(t)/dtで表される（ｐ１３６）

・自由振動の解は、x(t)=Acos(wt+α）であるが、加法定理を使うと、x(t)=A(coswtcosα-sinwtsinα)=Acosαcoswt-Asinαsinwt＝C1coswt+C2sinwtとなる（ｐ１６２）

・減衰振動とは、自由振動に速度に比例した抵抗がかかると考える。m x d2x/dt2=-kx-cvと表現できる（ｐ１６４）

・独立変数が２つ以上あるときは、偏微分方程式となる（ｐ１７８）

２０１６年２月１１日作成