リッカチのひ・み・つ 解ける微分方程式の理由を探る

井ノ口順一【著】

• 販売会社／発売会社: 日本評論社
• 発売年月日: 2010/09/20
• JAN: 9784535786318

商品レビュー

2012/02/04

非常に話題が多岐にわたり、手ごわい本であることは間違いありません。
以下、Amazon.comのレヴューを貼り付けます。

なかなかレヴューが書かれないようなので、書いてみました。

目次をご覧いただくと分かる通り、タイトルこそ柔らかいですが、中身は代数・幾何・解析と相当に高度です。
（日本評論社のＨＰより詳しい目次を添付しておきました。）

一筋縄では読めないのは仕方ないですが、井ノ口先生の語りかけるような文体ですので、微分方程式が解けるとは？について疑問を持たれた方にはお勧めの一冊です。

評者は薄学の為、このような本を他には、「ガロアの夢―群論と微分方程式」（久賀）と「リーマンからポアンカレにいたる線型微分方程式と群論」（Jeremy J. Gray）ぐらいしか思い浮かびません。

あとがきに「上野氏との勉強を通じて、リーが作りたかった「リー理論」は「微分方程式に対するガロア理論」なのだと知りました。」とあります。他にも著者の学び方など参考になる文章がいっぱいあります。

《目次》
第1章　常微分方程式
　1.1　不定積分
　1.2　変数分離形
　1.3　1 階線型常微分方程式
　1.4　リッカチ方程式
　1.5　複比
第2章　射影変換と複比
　2.1　無限遠点
　2.2　射影直線
　2.3　リッカチ方程式の対称性
第3章　行列の指数函数
　3.1　ベクトル値函数
　3.2　行列値函数の微分
　3.3　テイラー展開
　3.4　ノルム
　3.5　基本列*
第4章　1 径数群
　4.1　簡単な例
　4.2　指数法則
　4.3　公式をつくる
　4.4　指数函数の連続性*
　4.5　1 径数群
第5章　ベクトル場
　5.1　接ベクトル
　5.2　領域
　5.3　方向微分
　5.4　ベクトル場
第6章　流れ
　6.1　曲線の接ベクトル場
　6.2　積分曲線
　6.3　ベクトル場の完備性
　6.4　線積分
　6.5　渦度
第7章　完全微分方程式
　7.1　曲線の表示方法
　7.2　解曲線
　7.3　ポテンシャルをもつ場合
　7.4　積分因子
　7.5　積分因子の見つけ方
　7.6　変数分離形
　7.7　線型微分方程式
第8章　1 径数変換群の不変函数
　8.1　不変量について復習
　8.2　変数分離形の 1 径数変換群
　8.3　線型常微分方程式の 1 径数変換群
　8.4　不変函数
　8.5　不変図形
第9章　リーの定理
　9.1　導函数の変化
　9.2　延長
　9.3　ベクトル場の延長
　9.4　不変微分方程式
　9.5　不変微分方程式の例
　9.6　予想の検証
第10章　射影変換とベクトル場
　10.1　岩澤分解
　10.2　線型リー群
　10.3　リー環
　10.4　1 次分数変換への応用
　10.5　直線上のベクトル場
　10.6　射影変換の定めるベクトル場
　10.7　力学への応用*
第11章　リッカチ方程式の解けるひみつ
　11.1　リー型微分方程式
　11.2　斉次方程式
　11.3　定数変化法
　11.4　リッカチ方程式のひみつとは
　11.5　リーの夢
第12章　リウヴィル方程式
　12.1　グラム-シュミット分解
　12.2　随伴作用
　12.3　リウヴィル方程式
　12.4　リウヴィル方程式を解く
　12.5　戸田格子へ
第13章　KdV 方程式
　13.1　点の運動
　13.2　射影曲率
　13.3　運動の連続変形
　13.4　逆散乱法へ
　13.5　最後に
付録A　微分学
付録B　リッカチの方程式
付録C　微分ガロア理論の一例
付録D　微分形式