解析力学と微分形式 現代数学への入門

深谷賢治(著者)

• 販売会社／発売会社: 岩波書店
• 発売年月日: 2004/04/08
• JAN: 9784000068840

商品レビュー

2023/06/15

ハミルトン力学を微分形式により構成しようという教科書で，物理と数学のギャップを埋めるのに使える。微分形式は入門程度にとどまっているが，逆に入門書として使うことも可能。

2021/04/16

　数学者による解析力学の本。
　大雑把に言って解析力学とは、変数変換を施したときそれに伴って運動方程式がどのように変換されるかということを研究する分野だと言って良いと思う。数学的には、この変数変換というのは多様体の間の同相写像として捉えられる。そして、この変数変換に相性が良いのが、多様体上で定まる微分形式である。というのは、微分形式は同相写像で「形を変えない」(=微分形式の座標不変性)からである(補題2.24)。
　1章、2章は3章のための準備。まず1章はベクトル場と運動方程式について。2章は微分形式の導入とその基本的な性質について。この本では、微分形式や外微分などをただの形式的な記号、演算として定義している。解析力学を論じるにあたっては取り敢えずそれで十分だからだが、微分形式というのは実際何なのか気になった人は、定番だが『多様体の基礎』とか読むといいと思う(多様体の本をこれしか読んだことがないので、他に薦められる本がないのだが)。
　3章はいよいよ微分形式を用いて解析力学を論じる。正準変換やネーターの定理、測地線の方程式など。
　全く簡単な本ではないし実際僕は読むのにかなり時間がかかったが、それは主にそもそも扱っている内容が難しいからで、他の方のレビューにもあるが、出来るだけ簡潔に、明確に、分かりやすく説明しようというのが伝わってくる。名著だと思う。誤植がちらほら見受けられるのだけが残念。

以下、自分用のメモ。
・p.95でも注意されているが、3章の前半は同相写像によって定義域と値域を同一視し、同相写像の記号が省かれている箇所が多い。そういうことが許されるのは上述の微分形式の座標不変性のためだが、例えば問1の巻末解答は厳密に言えば間違っていると思う(異なる多様体上で定義されたベクトル場が等号で結ばれてしまっているので)。1章問6の巻末解答でsが抜けている。
・2章例題2.35の式中dxdy はdsdt。
・3章問2の巻末解答で和をとる添字はjではなくi 。補題3.55はコーシー・シュワルツの不等式から簡単に従う。(3.87)式でδは不要。(3.90)、(3.91)式でξの上のドットは不要。

第1章　ユークリッド空間上のハミルトン・ベクトル場
1-1 ベクトル場と積分曲線
1-2 1次元空間上の運動
1-3 2次元空間上の運動
1-4 変分原理
第2章　ベクトル場と微分形式
2-1 ベクトル場の座標変換
2-2 微分形式
2-3 微分形式の積分とストークスの定理
2-4 1径数変換群と無限小変換
第3章　ハミルトン系と微分形式
3-1 正準変換
3-2 ハミルトン系の対称性とネーターの定理
3-3 完全積分可能系
3-4 曲面上の測地線
3-5 コマの運動
付録　アーノルド-リウビルの定理
現代数学への展望

2014/11/22

［　内容　］
幾何的・物理的イメージを重視したベクトル解析の教科書。
マクスウェル方程式にいたるまでの電磁気学の理論を系統的に述べ、さらに大域解析への入門としてベクトル解析にかかわる大域的な諸問題に触れているのが特色である。
場とはなにか、空間とはなにか、という問題に迫る、幾何学の方法を体験してみよう。

［　目次　］
第１章　平面上のベクトル解析（ベクトルとベクトル場；線積分１；線積分２　ほか）
第２章　３次元空間のベクトル解析（曲面；面積分；ガウスの発散定理（３次元）　ほか）
第３章　電磁気学（静電場；電位とポテンシャル；定常電流の作る磁場　ほか）

［　問題提起　］

［　結論　］

［　コメント　］

［　読了した日　］