不可能、不確定、不完全 「できない」を証明する数学の力 「数理を愉しむ」シリーズ ハヤカワ文庫NF

ジェイムズ・D.スタイン【著】, 熊谷玲美, 田沢恭子, 松井信彦【訳】

• 販売会社／発売会社: 早川書房
• 発売年月日: 2012/11/12
• JAN: 9784150503833

商品レビュー

2022/04/13

アローの不可能性定理（投票者の選考を満足させる票の集計方法がない。）、ハイゼンベルクの不確定性原理、ゲーデルの不完全性定理

2018/11/18

本書の「前置き」に書かれたエピソードが、中学時代に数学パズルクラブの部長だったワタシににヒットした。これが本書を手にした理由。しかしながら…正直に言おう、挫折した。
著者の言葉によると、数学的な議論についていく気がない読者が途中を読み飛ばしてもいいように書いたし、（微積分を除く）高校までの知識でついていけるはずだ、とのことだったが、とてもとても。数学的理論と物理的理論の違い、数学者達の奇異な人生あたりまでは面白く読めたが、残りのほとんどはお手上げだ。再チャレンジは…多分ないだろう。
まぁたまにはこんなこともある、ということで。

2017/09/18

これは、数学・物理のみならず、哲学の分野においても解説されることが多い、
アローの不可能性定理、ハイゼンベルクの不確定性原理、ゲーデルの不完全性定理の詳細と関連性を明らかにする本ではない。

原題はHOW MATH EXPLAINS THE WORLD。
複雑で不安定で不可解な現実世界を、数学がどこまで記述できるのか、何が記述できないのかを探ることが主題である。

例えば普段意識することなく、当たり前のように日常生活で使っている数学も、
視点をちょっと変えるだけで、今まで見えていなかった世界に没入してしまう。
世界を限界まで拡大するときに現れる量子力学の通り、世界は離散構造で出来ているとしたら、
連続的として扱っている数直線とは、物理的には存在しえない概念にしかすぎないのだろうか？

直定規とコンパスでは作図が不可能な立方体の倍積、円と同じ面積の正方形、角の三等分。
べき根では特定できない五次方程式の解。
ペアノの公理による枠組みでは決定不能なグッドスタインの定理。

かつて現実世界では解決出来ないと思われていた種々の問いも、その枠組を拡張することで乗り越えてきた。
ならば表題の定理原理についても同じことが出来るかもしれない。

ゲーデルの不完全線定理によって、証明不可能な命題が存在することが明らかになったが、
どの命題が証明不可能かを明らかにするものではないし、
アローの不可能性定理は特定の条件における完全な投票の不可能性を示したが、
誰もが納得できる選挙が成り立たないことを証明したものではないし、
ハイゼンベルクの不完全性原理によって、原子の位置と運動量は同時に特定できないことが明らかになったが、
それは未来予測や量子コンピュータの可能性を否定するものではない。

人類のこれまでの成果とは、4つのマスを2つのコマで埋めることは不可能だと証明することだった。
現在明らかになりつつあるのが、コマを半分に割れば4つのマスを埋めることはできるという発見だとすれば、
これから目指す場所は、実際にコマを半分に割る方法を見つけることだろう。

数学に縁遠い世界にいると思っている人は、本書に33個以上の式が載っているか確認するところから初めてはどうだろう。
本に数式を一つ載せると読者が半減するという言葉が真であるか、証明できるかもしれない。