はじめてのガロア の商品レビュー

金重明(著者)

2025/10/15

早熟の天才、ガロアが残した功績のうち、特に群に焦点を絞って説明した書。人物伝としてのガロアの人生はとても面白かったです。

2025/05/14

17歳で数学的革命をおこし20歳（1832年）に謎の決闘で死んだガロアの残した「累乗根で方程式が解けることの条件について」に書かれた群論、特に正規部分群までを解説した本。初心者にも必要最低限のことが理解できるらしい。
ガロアは方程式を論じる過程で、方程式の根の置換群という代数的構造を発見した。そして、その代数的構造によって、無限に広がり複雑怪奇な変化をともなう数の世界において、群によって規定される構造こそが重要であると宣言したそうなのだ。

以下ネタばれ備忘録
・古代からガロアまでの数学
　アルゴリズムを追求する
・ガロアから現代までの数学
　全体の構造を探求する
・方程式を解く鍵は二項方程式
・ラグランジェは二項方程式の根を、もとの方程式の根の有理式で表した。これが方程式論の流れを変えた
・闇雲に根を求めるのではなく、まず根の有理式の値を求めよう　が新しいスローガンとして登場した
・１のｎ乗根は複素平面上の半径１の円をｎ等分した点
・次数が素数である二項方程式の根について、その置換群の要素の数は次数と同じ素数
・方程式の係数は根の基本対象式（α＋β、αβ）
・根の置換をしても変化しない根の有理式（つまり根の対称式）は、根の基本対象式の有理式であらわすことができる。つまり、もとの方程式の係数を用いて計算できる。（α²＋β²＝（α＋β）²－２αβ
・根の置換をすれば素数個の異なった形になる根の有理式は、その素数次の二項方程式を解くことで値を求めることができる。
・根の置換をして変化する式の形の数が素数でない根の有理式はこの時点ではお手上げ
・2次方程式の根の置換群の要素の数は２、要素の数が素数である非常に単純な群
・3次方程式の根の置換群の要素の数は６、この置換群は交換法則が成り立たない、普通、置換群は交換法則が成り立たない。
・群に部分群が存在すれば、その群は部分群と剰余類に類別される
・部分群と剰余類を要素として計算していった場合、それが群になれば、それを剰余類群という。
・部分群Hがもとの群の任意の要素αに対してHα＝αHが成り立つとき、Hを正規部分群と呼ぶ
・正規部分群とその剰余類は群になるので剰余類群である
・方程式の根の置換群の中に正規部分群があり、その剰余類群の要素の数が素数であった場合、二項方程式を解くことによって、その正規部分群で不変な値を求めることができる。
その正規部分群の中に、さらに正規部分群があり、その剰余類群の要素の数が素数であれば、二項方程式を解くことによって、その正規部分群で不変な値を求めることができる。
この作業を繰り返し、最後の正規部分群の要素の数が素数であれば、二項方程式を解くことによって、もとの方程式の根をもとめることができる。
・五次方程式の根が求められるかを検討する。根の置換群を数え上げると、要素の数は１２０．すべての要素に対してHα＝αHが成り立っている正規部分群の存在を確かめればよい。要素の数６０の正規部分群が存在して、剰余類群の要素の数は２。しかし要素の数６０の正規部分群の中に、他の正規部分群はないため、五次方程式は根は代数的には求められない。

2025/04/29

栄光なき天才たち、という漫画でガロアを知ってから数十年。ようやく群論に手を出した。わかったような、ないような、、
小学生でもわかるはずなので、近いうちに再読してみたい

2025/04/11

３次方程式や４次方程式にも解法があるのだから，さらに高次代数方程式も解けるだろうと解き方を試行錯誤していた時代に，押してもだめなら引いてみなということで解が持つべき性質から迫っていくというガロアの手法が，その後の数学自体に変革をもたらしたというお話です．数学的には群論のお話です．置換群にはじまり部分群と剰余群を解説し正規部分群をまでの内容です．ちゃんと群論を勉強したくなりますね．

2025/01/18

数学者・ガロアについて書いた一冊。

内容は面白かったが、自分に数学的知識があればもっと彼の偉大さを理解できるのだろうと感じた。

2024/12/01

波瀾万丈すぎる人生を歩み、わずか20歳で生涯を終えたフランス人ガロア。
専門的な内容も含まれていたが、数学者達の闘い、数学決闘なるものの存在など、興味深いものがあった。
数学を新たな角度から眺める。
初めてのブルーバックスは、そんな一冊となった。

2024/11/15

ブルーバックスにしては分かりづらい本。3次方程式と4次方程式の解の公式の解法を、説明しないので、具体性がなく、分かりにくくなっていると思われる。

2024/11/08

なるべくエンタメに寄せようとする筆者の努力が見られる。
第3章p. 132あたりから難しくなり、残念ながら第6章から議論についていけなくなった。紙とペンを持って再挑戦したい。

2024/09/21

数学嫌いの編集者が理解できるように書かれた本とされている通り、わかりやすく、かつ、読みやすくまとまっています。

前半の研究史のパートも面白いのですが、
これがあるからこそ、その後の「計算の上を飛ぶ」凄さが際立ってきて、
後半の小難しいパートも最後まで興味深く読み進
められました。

数学的な内容についても、必要な概念を事前に無理なく導入してから進む構成となっていて、事前知識がなくても大丈夫。
(自分は数学徒でないので数学的な厳密性については判断しかねますが)

もう少し詳しく知りたいと思う箇所もありましたが、そこを追いはじめると痛い目をみるのかな…